Study Of Math Guarantee Studyofmath Study Of Math Math Szh Sections Sportsline Main500290 Shtml Study Of Math Najlošije riješeni zadatci iz Matematike na višoj razini (ljetni rok 2010.)

Ispit Državne mature iz Matematike na višoj razini u ljetnom roku školske 2009./10. godine je održan 27. svibnja 2010. godine. Ovdje su rješenja zadataka koje je točno riješilo manje od 50% pristupnika.

11. Koliki je zbroj rješenja jednadžbe [math]\displaystyle 5^{} + \left(\frac{}{}\right)^{}=6[/math]?

Rješenje. Napišemo li jednadžbu tako da ima samo bazu 5, imamo

[display]5^{} + 5^{}=6,[/display]

odakle, rješavanjem konstantnih članova iz eksponenata, slijedi

[display]25\cdot 5^x + \frac{}{}\cdot 5^{}=6,[/display]

te, množenjem s [math]5[/math] i [math]5^x[/math] i nakon sređivanja

[display]125\cdot 5^{} - 30\cdot 5^x + 1=0.[/display]

Supstitucijom [math]5^x = t[/math] gornja jednadžba prelazi u kvadratnu [math]125 t^2 - 30 t + 1 = 0[/math] čija su rješenja [math]t_1=\frac{}{}[/math], [math]t_2=\frac{}{}[/math], pa vraćanjem supstitucije imamo:

[display]\begin{}{}
\displaystyle 5^x = \frac{}{}=5^{} &\qquad& 5^x = \frac{}{}=5^{}\\[10pt]
x_1 = -1 & & x_2 = -2
\end{}[/display]

Konačno je

[display]x_1 + x_2 = -1 + (-2)=-3.[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 38% pristupnika, dok je odgovor B) i C) ponudilo po 21%, a odgovor D) 19%

14. Puna metalna kocka brida [math]a[/math] pretopljena je u kuglu. Koliki je promjer te kugle?

Rješenje. Kocka brida [math]a[/math] ima volumen [math]V=a^3[/math]. Volumen kugle je, pak, dan formulom [math]V_k = \frac{}{}r^3\pi[/math], pa je

[display]\frac{}{}r^3\pi = a^3[/display]

odakle se lako izračuna polumjer kugle [math]r = \sqrt[3]{}{}}\cdot a\approx 0.62\cdot a[/math]. Kako se traži promjer, zadnje pomnožimo s 2 i dobijemo

[display]2r = 1.24\cdot a[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 48% pristupnika, dok je A) ponudilo 15%, C) 23% i D) 13%.

15. Uz koji uvjet za realni broj [math]m \neq 0[/math] jednadžba [math]m\sin x - 1 = 0[/math] ima rješenja?

Rješenje. Napišimo ju malo drukčije.

[display]m\sin x - 1 = 0\quad\Rightarrow\quad \sin x = \frac{}{}.[/display]

Da bi zadnja jednadžba imala rješenje, zbog ograničenosti sinusa, mora vrijediti

[display]\left| \frac{}{}\right|\leq 1\quad\Rightarrow\quad |m|\geq 1\quad\Rightarrow\quad m\in\langle -\infty,-1] \cup [ 1,+\infty\rangle = \mathbf{}\backslash\langle -1,1\rangle[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 20% pristupnika, dok je odgovor A) ponudilo 35%, B) 12% i D) 32%.

18.2. Zadana je točka [math]A(1,2)[/math] i usmjerena dužina [math]\overrightarrow{}=4\vec{} - 4\vec{}[/math]. Odredite jednadžbu pravca kojemu pripada ta dužina.

Rješenje. Točka [math]A[/math] ima radij-vektor [math]\vec{}_A = \vec{} + 2\vec{}[/math]. Zbrajanjem s vektorom [math]\overrightarrow{}[/math] se dobije radij-vektor točke [math]B[/math]:

[display]\vec{}_B = \vec{}_A + \overrightarrow{} = (\vec{} + 2\vec{}) + (4\vec{} - 4\vec{}) = 5\vec{} - 2\vec{},[/display]

pa je [math]B(5,-2)[/math].

Formula za jednadžbu pravca kroz točke [math]A(x_1,y_1)[/math] i [math]B(x_2,y_2)[/math] glasi

[display]y-y_1 = \frac{}{}(x-x_1),[/display]

pa, nakon uvrštavanja i sređivanja dobijemo [math]y=-x+3[/math].

Napomena. Zadatak je točno riješilo 32% pristupnika, ostali ili netočno, ili ga nisu ni rješavali.

20.1. Neka je [math]z=3+2i[/math]. Koliko je [math](iz\overline{})^4[/math]?

Rješenje. Uvrstimo [math]z[/math] u izraz:

[display](iz\overline{})^4 = (i(3+2i)(3-2i))^4 = (i(3^2-(2i)^2))^4=(13i)^4=13^4=28\,561[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 41% pristupnika.

20.2. Kompleksan broj [math]z=2i[/math] prikažite u trigonometrijskom obliku.

Rješenje. Modul zadanog kompleksnog broja je [math]r=|z|=|2i|=2[/math], dok kut između pozitivnog dijela realne osi i dužine [math]Oz[/math] iznosi [math]\frac{}{}[/math], pa je

[display]z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = 2\left(\cos\frac{}{} + i\sin\frac{}{}\right)[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 16% pristupnika.

23.2. Koje je rješenje jednadžbe [math]\sin(x-\pi)\sin(x+2\pi)=3\cos(x+3\pi)\cos(x-4\pi)[/math] iz intervala [math][\frac{}{},\pi][/math]?

Rješenje. Svođenjem na prvi kvadrant, jednadžba prelazi u

[display]-\sin x \sin x = 3 (-\cos x)\cos x\quad\Rightarrow\quad -\sin^2 x = -3\cos^2 x.[/display]

Dijeljenjem s [math]-\cos^2 x[/math] imamo

[display]\mathrm{}^2\, x = 3\quad\Rightarrow\quad \mathrm{}\, x = \pm\sqrt{}\quad\Rightarrow\quad x = \pm\frac{}{}+k\cdot\pi,\ k\in\mathbf{}.[/display]

Za glavnu vrijednost kuta [math]-\frac{}{}[/math] i [math]k=1[/math] dobijemo rješenje [math]x=\frac{}{}[/math] koje se nalazi u zadanom intervalu.

Napomena. Zadatak je točno riješilo 13% pristupnika. (!?)

24.2. Tri pozitivna broja čine geometrijski niz. Umnožak prvoga i trećega člana je 1.44. Koji je drugi član niza.

Rješenje. Geometrijski niz se tako zove jer je svaki član, osim prvoga, geometrijska sredina svojih susjeda. Konkretno ovdje je:

[display]a_2 = \sqrt{}=\sqrt{}=1.2[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 40% pristupnika.

25.2. Parabola je zadana jednadžbom [math]y^2 = 12 x[/math]. Kolika je udaljenost fokusa te parabole od pravca [math]y=2x+5[/math]?

Rješenje. Opća jednadžba parabole glasi [math]y^2=2px[/math], pa lako nalazimo da je [math]p=6[/math]. Nadalje, koordinate tjemena su [math]T(\frac{}{},0)=T(3,0)[/math].

Implicitni oblik zadanog pravca je [math]2x-y+5=0[/math].

Udaljenost točke [math]T(x_1,y_1)[/math] od pravca [math]Ax+By+C=0[/math] se računa formulom

[display]D(T,p) = \frac{}{}},[/display]

pa kada se sve uvrsti, dobije se

[display]d(T,p)=\frac{}{}}=\frac{}{}}=\frac{}}{}.[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 38% pristupnika.

25.3. Parabola zadana jednadžbom [math]y^2 = 2px[/math] ima fokus [math]F(1,0)[/math] i prolazi točkom [math]A(x,-3)[/math]. Odredite jednadžbu tangente na tu parabolu u njezinoj točki [math]A[/math].

Rješenje. Iz fokusa [math]F(1,0)=F(\frac{}{},0)[/math] nalazimo da je [math]p=2[/math], pa je jednadžba parabole [math]y^2=2px=4x[/math].

Kako parabola prolazi točkom [math]A(x,-3)[/math], to njene koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu parabole:

[display]y^2=4x\quad\Rightarrow\quad (-3)^2 = 4\cdot x \quad\Rightarrow\quad  x=\frac{}{},[/display]

pa su koordinate točke [math]A(\frac{}{},-3)[/math].

Formula za tangentu parabole u njenoj točki glasi [math]y_1 y = p(x+x_1)[/math], pa uvrštavanjem i sređivanjem dobijemo

[display]-3y = 2\left(x+\frac{}{}\right)\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{}{}x - \frac{}{}[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 32% pristupnika.

26. (Prvi dio) Povećanje troškova života u travnju u odnosu na ožujak je 4.2%, a u svibnju u odnosu na travanj je 3.5%. Koliki je postotak povećanja troškova života u svibnju u odnosu na ožujak?

Rješenje. Označimo postotni faktor s [math]r=1+\frac{}{}[/math]. Postotni faktor povećanja troškova života u svibnju u odnosu na ožujak jednak je umnošku postotnih faktora za svaki od mjeseca, tj.

[display]\left(1+\frac{}{}\right)\cdot \left( 1+\frac{}{}\right) = 1+\frac{}{},[/display]

pa je postotak povećanja 7.847%.

26. (Drugi dio) Povećanje troškova života u listopadu u odnosu na rujan je 3.8%. Za koliko bi se posto morali smanjiti troškovi života u studenome da bi se vratili na stanje u rujnu?

Rješenje. Nakon povećanja troškova života, postotni faktor iznosi [math]1+\frac{}{}=1.038[/math]. Tražimo postotak [math]p[/math] takav da se nakon smanjenja troškova života postotni faktor vrati na 1, tj. da vrijedi

[display]1.038 - \frac{}{}\cdot 1.038 = 1\quad\Rightarrow\quad p = 3.66\%.[/display]

Napomena. Zadatak je točno riješilo 21% pristupnika, a djelomično točno isto 21%.

27. Riješite nejednadžbu [math]\log_2 (x-1) + \log_2(x-3)\leq 3[/math]. Rješenje zapišite pomoću intervala.

Rješenje. Nejednadžba ima rješenja za
[math]x-1>0\quad\Rightarrow\quad x>1[/math], i
[math]x-3>0\quad\Rightarrow\quad x>3[/math],
ukupno kada je [math]x>3[/math].

Riješimo se logaritama!

[display]\log_2 (x-1) + \log_2(x-3)\leq 3 \quad\Rightarrow\quad \log_2 (x-1)(x-3)\leq 3\log_2 2 =\log_2 2^3[/display]

Kako je [math]\log_2 x[/math] rastuća i neprekidna funkcija, možemo je gore "skratiti", pa imamo dalje

[display](x-1)(x-3)\leq 8\quad\Rightarrow\quad x^2 - 4x-5\leq 0.[/display]

Rješenje gornje nejednadžbe je [math][-1,5][/math] što, u presjeku s uvjetom pod kojim postoji rješenje ([math]x>3[/math]), konačno daje [math]\langle 3,5][/math].

Napomena. Zadatak je točno riješilo 10% pristupnika, a djelomično točno 14%.

29. Zadana je funkcija [math]f(x)=-\frac{}{}(x^2-16)(x+1)[/math].

29.1. Odredite koordinate sjecišta grafa funkcije s osi apscisa.

Rješenje. Treba riješiti jednadžbu:

[display]-\frac{}{}(x^2-16)(x+1)=0\quad\Rightarrow\quad x^2-16=0\quad\textrm{}\quad x+1=0,[/display]

pa su nultočke od prvoga dijela [math]-4,4[/math], a od drugoga [math]-1[/math], odnosno

[display]T_1(-4,0),\quad T_2(-1,0),\quad T_3(4,0).[/display]

29.2. Derivirajte funkciju [math]f[/math].

Rješenje.

[display]f'(x)=-\frac{}{}[(x^2-16)'\cdot (x+1) + (x^2-16)\cdot (x+1)'] = -\frac{}{}(3x^2+2x-16).[/display]

29.3. Odredite interval/intervale rasta funkcije [math]f[/math].

Rješenje. Stacionarne točke su nultočke prve derivacije, odnosno

[display]f'(x)=-\frac{}{}(3x^2+2x-16)=0\quad\Rightarrow\quad x_1=-\frac{}{},\ x_2=2.[/display]

Na intervalu [math]\langle -\infty,-\frac{}{} \rangle[/math] je [math]f'(x)<0[/math] pa funkcija pada.

Na intervalu [math]\langle -\frac{}{}, 2\rangle[/math] je [math]f'(x)>0[/math] pa funkcija raste.

Na intervalu [math]\langle 2,+\infty \rangle[/math] je [math]f'(x)<0[/math] pa funkcija pada.

Dakle, funkcija raste na [math]\langle -\frac{}{}, 2\rangle[/math].

29.4. Odredite lokalne ekstreme funkcije [math]f[/math].

Rješenje. Funkcija je svuda neprekidna. Kako pada do [math]-\frac{}{}[/math], a iza toga raste, tu se nalazi minimum, odnosno

[display]T_{}}\left(-\frac{}{},-\frac{}{} \right).[/display]

Kako funkcija raste do 2, a iz pada, tu se nalazi maksimum, odnosno

[display]T_{}}(2,9).[/display]

29.5. Nacrtaj graf koristeći rezultate prethodnih podzadataka.

Rješenje.

Napomena. Postotci pristupnika koji su točno ili djelomično točno riješili podzadatke je:

[display]\begin{}{}
& 29.1 & 29.2 & 29.3 & 29.4 & 29.5\\
\textrm{} & 46\% & 48\% & 28\% & 25\% & 21\%\\
\textrm{} & 10\% & - & 13\% & 10\% & 8\%
\end{}[/display]

• Najlošije riješeni zadatci iz Matematike na višoj razini (ljetni rok 2010.)
• Zadatak "Cijena c iznajmljivanja bungalova..."

• Najlošije riješeni zadatci iz Matematike na osnovnoj razini (ljetni rok 2010.)
• Zadatak "Ljudsko srce tijekom jednog dana..."